Untuk 0 < x < π/2, jumlah deret Tak hingga cos x + cos x sin x + cos x sin² x +.... Adalah...

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Barisan dan Deret
Kata Kunci : deret tak berhingga

Pembahasan :
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding atau pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan.
Bentuk umum barisan geometri adalah
U₁, U₂, ..., Un.
U₁ = a
U₂ = ar
...
Un = arⁿ⁻¹,
dengan r ≠ 0.
Sehingga berdasarkan definisi di atas berlaku hubungan

r = [tex] \frac{U_n}{U_{n-1}} [/tex]

dengan r = rasio antara dua suku yang berurutan, a = suku pertama, Un = suku ke-n, U(n-1) = suku ke n-1, dan n = banyak suku.

Deret geometri tak berhingga
a + ar + ar² + ... + arⁿ ⁻¹,
dengan |r| < 1.

Jumlah deret tak berhingga
S = [tex] \lim_{n \to \infty} S_n [/tex] = [tex] \frac{a}{1-r} [/tex]

Mari kita lihat soal tersebut.
JIka 0 < x < [tex] \frac{ \pi }{2} [/tex], maka jumlah deret tak hingga cos x + cos x sin x + cos x sin² x +.... adalah...

Jawab :
U₁ = a = cos x
[tex]r= \frac{U_2}{U_{n-1}} [/tex]
⇔ [tex]r= \frac{cosxsinx}{cosx} [/tex]
⇔ r = sin x

[tex]S=\frac{a}{1-r} [/tex]
⇔ [tex]S= \frac{cosx}{1-sinx} [/tex]
⇔ [tex]S = \frac{cosx}{1-sinx}. \frac{1+sinx}{1+sinx} [/tex]
⇔ [tex]S= \frac{cosx(1+sinx)}{1-sin^2x} [/tex]
⇔ [tex]S= \frac{cosx(1+sinx)}{cos^2x} [/tex]
⇔ [tex]S= \frac{1+sinx}{cosx} [/tex]

Jadi, jumlah tak berhingga dari cos x + cos x sin x + cos x sin² x +....  adalah [tex]\frac{cosx}{1-sinx} [/tex] atau [tex]\frac{1+sinx}{cosx} [/tex]

Semangat!