Buktikan identitas berikut. A.cos pangkat 5 a=1/16 (10 cos a+5cos3a+cos5a)

Kelas          : XI
Pelajaran    : Matematika
Kategori      : Trigonometri
Kata Kunci  : pembuktian identitas trigonometri, rumus sudut rangkap, rumus perkalian cosinus

Pembahasan

Buktikan

cos⁵a = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

(cos a)(cos⁴a) = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

(cos a)(cos²a)² = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Gunakan rumus sudut rangkap
cos 2a = 2cos²a - 1 menjadi cos²a = ¹/₂.(1 + cos 2a)

(cos a)(¹/₂.(1 + cos 2a))² = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

(cos a)(¹/₄.(1 + cos 2a)²) = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Jangan lupa: (x + y)² = x² + 2xy + y²

¹/₄.(cos a)(1 + 2cos 2a + cos²2a) = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

¹/₄.(cos a + 2cos 2a.cos a + cos²2a.cos a) = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Rumus perkalian cosinus ⇒ 2cos x.cos y = cos (x + y) + cos (x - y)

¹/₄.[cos a + (cos (2a + a) + cos (2a - a)) + ¹/₂.(1 + cos 4a).cos a] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

¹/₄.[cos a + cos 3a + cos a + ¹/₂.cos a + ¹/₂.cos 4a.cos a] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Dari rumus ⇒ 2cos x.cos y = cos (x + y) + cos (x - y)
Menjadi ⇒ cos x. cos y = ¹/₂.[cos (x + y) + cos (x - y)]

¹/₄.[⁵/₂.cos a + cos 3a + ¹/₂.¹/₂(cos (4a + a) + cos (4a - a)] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

¹/₄.[⁵/₂.cos a + cos 3a + ¹/₄(cos 5a + cos 3a)] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Bagian di dalam kurung disamakan penyebutnya menjadi per empat

¹/₄.[¹⁰/₄.cos a + ⁴/₄.cos 3a + ¹/₄(cos 5a + cos 3a)] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

Tarik ¹/₄ keluar kurung

¹/₄.¹/₄.[10cos a + 4cos 3a + cos 5a + cos 3a] = ¹/₁₆.[10.cos a + 5.cos 3a + cos 5a]

¹/₁₆.[10cos a + 5cos 3a + cos 5a] = ¹/₁₆.[10cos a + 5cos 3a + cos 5a]

Telah terbukti